Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

在定義域D上是奇函數(shù)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定義域D；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當(dāng)x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），求a及r的值．

Answer 1

（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以log_a

1-mx

x-1

=log_a

-x-1

1+mx

，…（2分）
即1-m²x²=1-x²對一切x∈D都成立，…（3分）
所以m²=1，m=±1，…（4分）
由于

1-mx

x-1

＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，…（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）…（9分）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得f（x₁）＞f（x₂），…（10分）
【注】只要寫出x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=…=…，得出f（x₁）＞f（x₂）即可．
即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減…（11分）
同理可得，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增 …（13分）
（3）因?yàn)閤∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當(dāng)r≥1時，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°當(dāng)r＜1時，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因?yàn)閒（x）在（r，a-2）上為增函數(shù)，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1與a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）