Question

已知矩陣M=

2  a 2  b

的兩個特征值分別為λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若直線l在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為x-2y-3=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：矩陣特征值的定義

專題：矩陣和變換

分析：（Ⅰ）根據(jù)矩陣M的兩個特征值分別為λ₁=-1和λ₂=4，代入特征多項式，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用直線l′：x-2y-3=0，求出直線l的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）矩陣M的特征多項式f（λ）=

.

λ-2 -a -2 λ-b

.

=（λ-2）（λ-b）-2a，
又∵矩陣M的兩個特征值分別為λ₁=-1和λ₂=4，
∴f（-1）=0，f（4）=0，
∴

2a-3b=3 a+b=4

，
解得a=3，b=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）是直線l上任意一點(diǎn)，它在矩陣M對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x′，y′），
則

2 3 2 1

 

x y

=

x′ y′

，
即

2x+3y=x′ 2x+y=y′

；
∵點(diǎn)P′（x′，y′）在直線l′：x-2y-3=0上，
∴x′-2y′-3=0，
把x′，y′代人得：2x-y+3=0．
故所求直線l的方程為：2x-y+3=0．

點(diǎn)評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算，考查了矩陣變換的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．