Question

已知函數f（x）=2msin²x-2

3

msinxcosx+n，（m＞0），定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，4]．
（1）求f（x）表達式；
（2）若函數g（x）與f（x）關于直線x=

π

2

對稱，求g（x）的增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的對稱性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據x的范圍確定函數的最大值和最小值，列出方程組求得m和n，則函數解析式可得．
（2）根據g（x）與f（x）關于直線x=

π

2

對稱獲得g（x）的解析式，根據三角函數的性質求得函數的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）f(x)=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，x∈[0，

π

2

]
令t=2x+

π

6

，t∈[

π

6

，

7π

6

]，
H(t)=-2msint+m+n，sint∈[-

1

2

，1]，
∵m＞0，
∴

H(t)max=-2m(- 1 2 )+m+n=4 H(t)min=-2m+m+n=-5

，求得

m=3 n=-2

∴f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1，
（2）∵g（x）與f（x）關于直線x=

π

2

對稱
∴g（x）=6sin（2x-

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得  x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數圖象與性質，三角函數恒等變換的應用．考查了學生基礎知識的綜合運用．