Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$，若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，a_n+1a_n+a_n+1=a_n，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列{b_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{x}{x+1}$，a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．