分析:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)判斷f′(x)在[2,e],[1,2]上的符號(hào),從而得知函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求極值,再與端點(diǎn)處函數(shù)值作比較,可得函數(shù)最值;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).由f(x)≥0,得
|x-a|≥ (*).分0<x<1,x≥1兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)0<x<1時(shí)易判斷;當(dāng)x≥1時(shí),再按a≤1,a>1兩種情況討論,分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值可解;
解答:解:(Ⅰ) 若a=2,則f(x)=x|x-2|-lnx.
當(dāng)x∈[2,e]時(shí),f(x)=x
2-2x-lnx,
f′(x)=2x-2-=>0,
所以函數(shù)f(x)在[2,e]上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=-x
2+2x-lnx,
f′(x)=-2x+2-=<0.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
所以f(x)在區(qū)間[1,2]上有最小值f(2)=-ln2,
又因?yàn)閒(1)=1,f(e)=e(e-2)-1,而e(e-2)-1<1,
所以f(x)在區(qū)間[1,e]上有最大值f(1)=1.
(Ⅱ) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
由f(x)≥0,得
|x-a|≥. (*)
(ⅰ)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),|x-a|≥0,
<0,
不等式(*)恒成立,所以a∈R;
(ⅱ)當(dāng)x≥1時(shí),
①當(dāng)a≤1時(shí),由
|x-a|≥得
x-a≥,即
a≤x-,
現(xiàn)令
h(x)=x-,則
h′(x)=,
因?yàn)閤≥1,所以h'(x)≥0,故h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
從而h(x)的最小值為1,因?yàn)?span id="txrnrnt" class="MathJye">a≤x-
恒成立等價(jià)于a≤h(x)
min,
所以a≤1;
②當(dāng)a>1時(shí),|x-a|的最小值為0,而
>0(x>1),顯然不滿足題意.
綜上可得,滿足條件的a的取值范圍是(-∞,1].