(2013•深圳二模)如圖,已知四邊形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD.
(1)若 O 是 CD 的中點,證明:BO⊥PA;
(2)求二面角 B-PA-D 的余弦值.
分析:(1)通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用異面直線的方向向量的夾角即可證明;
(2)利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的大。
解答:(1)證明:∵平面 ABCD⊥平面 PCD,平面 ABCD∩平面 PCD=CD,四邊形 ABCD 是矩形.
∴AD⊥平面PCD,BC⊥平面PCD,
在Rt△PDA與在Rt△PBC中,AD=BC,PB=PA,∴PC=PD=
22-12
=
3

若 O 是 CD 的中點,OP⊥CD.
OP=
(
3
)2-1
=
2

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,AB=2BC=2.
則O(0,0,0),B(1,0,1),A(-1,0,1),P(0,
2
,0).
OB
=(1,0,1)
PA
=(-1,-
2
,1)

cos<
OB
,
PA
=
OB
PA
|
OB
| |
PA
|
=0,
OB
PA
,∴BO⊥PA.
(2)由(1)可知:
AB
=(2,0,0)

設(shè)平面BPA的法向量為
n1
=(x1y1,z1)
,
n1
PA
=0
n1
AB
=0
,得
-x1-
2
y1+z1=0
2x1=0
,取y1=1,則z1=
2
,x1=0.
∴平面BPA的一個法向量為
n1
=(0,1,
2
)

DA
=(0,0,1)
,設(shè)平面PAD的法向量為
n2
=(x2,y2,z2)

n2
DA
=0
n2
PA
=0
,則
z2=0
-x2-
2
y2+z2=0
,取y2=1,則x2=-
2
,z2=0.
n2
=(-
2
,1,0)

cos<
n1
,
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
1
3
×
3
=
1
3

由圖可以看出:二面角 B-PA-D 是一個鈍角,故其余弦值為-
1
3
點評:熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用異面直線的方向向量的夾角=0證明異面直線垂直;利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法.
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a1+a2+a3+…+an
n
.若非空數(shù)集B滿足下列兩個條件:
①B⊆A;
②E(B)=E(A),則稱B為A的一個“保均值子集”.
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