Question

（2011•花都區(qū)模擬）若直線l：ax+by+1=0始終平分圓M：x²+y²+4x+2y+1=0的周長(zhǎng)，則（a-2）²+（b-2）²的最小值為

5

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心M的坐標(biāo)和半徑r，根據(jù)直線l始終平分圓M的周長(zhǎng)，得到直線l過(guò)圓心M，故把M的坐標(biāo)代入直線l，得到關(guān)于a與b的方程，所求的式子可看做（a，b）到（2，2）距離的平方，又點(diǎn)（2，2）到直線2a+b-1=0的距離最小值為點(diǎn)（2，2）到直線2a+b-1=0的距離，故用點(diǎn)到直線的距離公式求出（2，2）到直線2a+b-1=0的距離，平方后即可得到所求式子的最小值．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+2）²+（y+1）²=4，
∴圓心M坐標(biāo)為（-2，-1），半徑r=2，
∵直線l始終平分圓M的周長(zhǎng)，
∴直線l過(guò)圓M的圓心M，
把M（-2，-1）代入直線l：ax+by+1=0得：
-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
∵（2，2）到直線2a+b-1=0的距離d=

|4+2-1|

5

=

5

，
∴（a-2）²+（b-2）²的最小值為5．
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，其中根據(jù)題意得出直線l過(guò)圓心M是解本題的關(guān)鍵．