Question

定義：對于任意n∈N^*，滿足條件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列a_n稱為T數(shù)列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數(shù)列a_n是T數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列b_n的通項(xiàng)為bn=50n-(

3

2

)n，且數(shù)列b_n是T數(shù)列，求常數(shù)M的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），問數(shù)列b_n是否是T數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以數(shù)列a_n滿足

an+an+2

2

≤an+1．由此能夠證明數(shù)列a_n是T數(shù)列．
（2）因?yàn)?span id="blb71vn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，所以當(dāng)50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11時(shí)，b_n+1-b_n＞0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞增．當(dāng)n≥12時(shí)，b_n+1-b_n＜0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞減；故數(shù)列b_n的最大項(xiàng)是b₁₂，由此能求出M的取值范圍．
（3）當(dāng)1＜p≤2時(shí)，對于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，所以當(dāng)1＜p≤

6

5

時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；當(dāng)2＜p≤3時(shí)，數(shù)列c_n不是T數(shù)列．當(dāng)p＞3時(shí)，數(shù)列c_n不是T數(shù)列．

解答：解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以數(shù)列a_n滿足

an+an+2

2

≤an+1．（2分）
又an=-(n-

9

2

)2+

81

4

，當(dāng)n=4或5時(shí)，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
綜上，數(shù)列a_n是T數(shù)列．（4分）
（2）因?yàn)?span id="tblrpvl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，
所以當(dāng)50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11時(shí)，b_n+1-b_n＞0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞增（6分）
當(dāng)n≥12時(shí)，b_n+1-b_n＜0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞減；故數(shù)列b_n的最大項(xiàng)是b₁₂，
所以，M的取值范圍是M≥600-(

3

2

)12（9分）
（3）①當(dāng)1＜p≤2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)c1=p-1，c2=1-

p

2

，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=

5p

3

-2≤0得p≤

6

5

，
即當(dāng)1＜p≤

6

5

時(shí)符合

cn+cn+2

2

≤cn+1條件．（11分）
若n≥2，則

p

n

≤1，此時(shí)cn=1-

p

n

于是cn+cn+2-2cn+1=(1-

p

n

)+(1-

p

n+2

)-2(1-

p

n+1

)=

-2p

n(n+1)(n+2)

＜0
又對于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，
所以當(dāng)1＜p≤

6

5

時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；（13分）
②當(dāng)2＜p≤3時(shí)，
取n=1則：c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=2-

p

3

＞0，所以2＜p≤3時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（15分）
③當(dāng)p＞3時(shí)，
取n=1則c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=

p

3

-1，
由c1+c3-2c2=

5p

6

＞0，所以p＞3時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（17分）
綜上：當(dāng)1＜p≤

6

5

時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；當(dāng)p＞

6

5

時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（18分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．