Question

已知函數(shù)，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在[e，e²]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先函數(shù)h（x）的定義域，在對(duì)h（x）求導(dǎo)，由題意可知h′（1）=0，求出a的值
（2）φ（x）=f（x）-g（x）=在[e，e²]存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，令，結(jié)合兩函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，從而求出結(jié)果．
（3）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立?f（x₁）_min≥g（x₂）_max，從而轉(zhuǎn)化為分別求函數(shù)f（x），g（x）在[1，e]的最小值、最大值
解答：解：（1）∵，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴． （3分）
∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，∴h'（1）=0，即3-a²=0．
∵a＞0，∴． （6分）
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，
∴． （8分）
（2）由題意，可知方程在區(qū)間[e，e²]上有根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213044323721467/SYS201310232130443237214018_DA/10.png">在[e，e²]上是單調(diào)減函數(shù)，lnx在[e，e²]上是單調(diào)增函數(shù)，（10分）
所以，（14分）∴（16分）
（3）對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max． （7分）
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，．
∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)．
∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．（9分）
∵，且x∈[1，e]，a＞0．
①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時(shí)，，
∴函數(shù)在[1，e]上是增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（1）=1+a²．
由1+a²≥e+1，得a≥，
又0＜a＜1，∴a不合題意． （11分）
②當(dāng)1≤a≤e時(shí)，
若1≤x＜a，則，
若a＜x≤e，則．
∴函數(shù)在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥，
又1≤a≤e，∴≤a≤e． （13分）
③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時(shí)，，
∴函數(shù)在[1，e]上是減函數(shù)．
∴．
由≥e+1，得a≥，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
綜上所述，a的取值范圍為． （16分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了極值存在的性質(zhì)及零點(diǎn)判定定理的運(yùn)用，函數(shù)的恒成立問題，解決此類問題常把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、方程與函數(shù)的思想的運(yùn)用．屬于中等難度的試題．