Question

【題目】已知函數(shù)，對任意，都有.

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)求得的導數(shù),討論0<m≤1, m> 1時,判斷導數(shù)的符號,可得單調(diào)性,結(jié)合不等式恒成立，可得m的范圍；

（2）由題意可得恒成立，令，求，再令求其導數(shù)，判斷單調(diào)性，求得h (x) 的零點，進而得到g (x) 的單調(diào)性和最值，可得實數(shù)的取值范圍.

（1），當時，因為，，

則，在上是增函數(shù)，

所以恒成立，滿足題設；

當時，在上是減函數(shù)，則時，

不合題意，綜上，.

（2）時，恒成立，∴恒成立，

∴令，則，

∴令，

∴，即在上單調(diào)遞增.

又，時，，

∴，使.

當時，，，

當時，，.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

從而，而，

∴，

故，

∴.