Question

已知函數(為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸平行.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的單調區(qū)間;

(Ⅲ)設,其中為的導函數.證明:對任意.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）在區(qū)間內為增函數;在內為減函數.

（3）構造函數借助于導數分析函數單調性，進而得到求解最值來得到證明。

【解析】

試題分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分

(Ⅱ),令可得,

當時,;當時,.

于是在區(qū)間內為增函數;在內為減函數.      8分

(Ⅲ),

(1)當時, ,.  10分

(2)當時,要證.

只需證即可

設函數.

則,

則當時,

令解得,

當時;當時,

則當時,且,

則,于是可知當時成立

綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.          14分

另證1:設函數,則,

則當時,

于是當時,要證,

只需證即可,

設,,

令解得,

當時;當時,

則當時,

于是可知當時成立

綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.

另證2:根據重要不等式當時,即,

于是不等式,

設,,

令解得,

當時;當時,

則當時,

于是可知當時成立.

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數來判定函數單調性，以及求解最值，證明不等式的運用，屬于難度題。