Question

1．（Ⅰ）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-1，5），B（-2，-2），C（5，-5），求其外接圓的方程．
（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，2），焦點(diǎn)為（$\sqrt{6}$，0）的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：利用待定系數(shù)法；法二：求出圓心與半徑，即可求其外接圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），利用經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，2），焦點(diǎn)為（$\sqrt{6}$，0），求出a，b，即可求出雙曲線方程．

解答 解：（Ⅰ）法一：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由題意有
$\left\{\begin{array}{l}-D+5E+F+26=0\\-2D-2E+F+8=0，5D+5E+F+50=0\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}D=-4\\ E=-2，F(xiàn)=-20.\end{array}$
故所求圓的方程為x²+y²-4x-2y-20=0．----------------------------------（6分）
法二：由題意可求得線段AC的中垂線方程為x=2，線段BC的中垂線方程為x+y-3=0，∴圓心是兩中垂線的交點(diǎn)（2，1），半徑r=$\sqrt{（2+1）^2+（1-5）^2}$=5．
故所求圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=25．
（Ⅱ）∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，0），焦點(diǎn)在x軸上，
∴可設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．----------------------------（7分）
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)（-5，2），∴$\frac{25}{a^2}$-$\frac{4}{b^2}$=1，得a²=$\frac{25b^2}{b^2+4}$．---------------------（8分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}a^2=\frac{25b^2}{b^2+4}\\ a^2+b^2=c^2=6\end{array}$解得a²=5，b²=1，----------------（11分）（解對(duì)一個(gè)2分）
故所求雙曲線方程為$\frac{x^2}{5}$-y²=1．---------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、雙曲線的方程，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．