Question

設(shè)曲線C_n：f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)P(-

1

2

，f(-

1

2

))處的切線與y軸交于點(diǎn)Q_n（0，y_n）．
（Ⅰ）求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和為S_n，猜測(cè)S_n的最大值并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）欲求數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式，只須求出切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=-

1

2

處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而求出切線方程最后得到與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)．從而問題解決．
（II）根據(jù)所求數(shù)列的特點(diǎn)，采用錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和為S_n，再算出它的前幾項(xiàng)觀察此數(shù)列的最大值，最后對(duì)n進(jìn)行分類討論：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)．進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=（n+1）xⁿ（n∈N^*），（1分）
∴點(diǎn)P處的切線斜率kn=(n+1)(-

1

2

)n，（2分）
∴切線方程為：y-(-

1

2

)n+1=(n+1)(-

1

2

)n(x+

1

2

)，（3分）
令x=0得：yn=(-

1

2

)n+1+

n+1

2

•(-

1

2

)n，
故數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式為：yn=

n

2

•(-

1

2

)n．（4分）
（Ⅱ）Sn=

1

2

•(-

1

2

)+

2

2

•(-

1

2

)2+

3

2

•(-

1

2

)3++

n

2

•(-

1

2

)n①
兩邊同乘-

1

2

得：-

1

2

•Sn=

1

2

•(-

1

2

)2+

2

2

•(-

1

2

)3+

3

2

•(-

1

2

)4++

n

2

•(-

1

2

)n+1②
∴得：

3

2

•sn=

1

2

•(-

1

2

)+

1

2

•(-

1

2

)2+

1

2

•(-

1

2

)3++

1

2

•(-

1

2

)n-

n

2

•(-

1

2

)n+1（6分）
∴3Sn=(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3++(-

1

2

)n-n•(-

1

2

)n+1
=

- 1 2 -(- 1 2 )n+1

1+ 1 2

-n•(-

1

2

)n+1
=-

1-(- 1 2 )n

3

-n•(-

1

2

)n+1
∴Sn=

1

9

[

2+3n

2

•(-

1

2

)n-1]（8分）
其中S1=y1=-

1

4

，S₂=y₁+y₂=0，S3=-

3

16

，S4=-

1

16

猜測(cè)S_n的最大值為S₂=0．證明如下：（10分）
（i）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=-

1

9

[

2+3n

2

•(

1

2

)n+1]＜0；（11分）
（ii）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=

1

9

•(

2+3n

2n+1

-1)，
設(shè)h(n)=

2+3n

2n+1

，則h(n+2)=

8+3n

2n+3

．
h(n+2)-h(n)=

8+3n

2n+3

-

2+3n

2n+1

=-

9n

2n+3

＜0，
∴h（n+2）＜h（n）．（13分）
故h(n)=

2+3n

2n+1

的最大值為h（2）=1，即S_n的最大值為S₂=0．（14分）
解法2（Ⅱ）任意k∈N^*，都有y_2k-1＜0，y_2k＞0；
所以S_n的最大值就是S_2k的最大值．
令ak=y2k-1+y2k=

1-k

4k

，顯然a₁=0，k＞1，a_k＜0，
所以S_2k=a₁+a₂++a_k的最大值是S₂=a₁=0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、數(shù)列的求和、數(shù)列遞推式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．