Question

2．已知f（x）=e^2x•cos3x．
（1）求f′（x）；
（2）若$m=\int_0^{2π}{sinxdx}$，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（m，f（m））處的切線(xiàn)方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的積的運(yùn)算法則和求導(dǎo)公式，計(jì)算即可得到所求；
（2）運(yùn)用定積分的運(yùn)算性質(zhì)，可得m=0，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程即可得到所求切線(xiàn)的方程．

解答 解：（1）f（x）=e^2x•cos3x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e^2xcos3x-3e^2xsin3x
=（2cos3x-3sin3x）e^2x；
（2）$m=\int_0^{2π}{sinxdx}$=-cosx|${\;}_{0}^{2π}$=-（cos2π-cos0）=0，
即有y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)斜率為2，
切點(diǎn)為（0，1），
則y=f（x）在點(diǎn)（m，f（m））處的切線(xiàn)方程為y=2x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查定積分的運(yùn)算，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．