Question

求證：e^x≥x+1．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)x=0時(shí)，e^x=1，x+1=1，命題成立；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＞0∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∵x＞0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1；
（3）當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＜0∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
∵x＜0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1
綜合以上情況，e^x≥x+1．
分析：對(duì)x分3種情況進(jìn)行分析，x=0代入顯然成立；x＞0和x＜0時(shí)令f（x）=e^x-x-1，根據(jù)其單調(diào)性進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不僅僅會(huì)根據(jù)其圖象還要會(huì)由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)值來判斷，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．