Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ] 2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1]

g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：
結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，

2

3

]；
②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是[

4

9

，

4

5

]．
其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判斷①；化簡g（x），判斷g（x）的單調(diào)性即可判斷②；
求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解的a的范圍，即可判斷③；
由③得，有解的條件為：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范圍，即可判斷④．

解答： 解：當x∈[0，

1

2

]時，f（x）=

1

4

-

1

2

x是遞減函數(shù)，則f（x）∈[0，

1

4

]，
當x∈（

1

2

，1]時，f（x）=

2x2

x+2

=2（x+2）+

8

x+2

-8，f′（x）=2-

8

(x+2)2

＞0，則f（x）在（

1

2

，1]上遞增，
則f（x）∈（

1

5

，

2

3

]．
則x∈[0，1]時，f（x）∈[0，

2

3

]，故①正確；
當x∈[0，1]時，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0）=-acos

π

3

x-2a+2，
由a＞0，0≤

π

3

x≤

π

3

，則g（x）在[0，1]上是遞增函數(shù)，故②正確；
由②知，a＞0，x∈[0，1]時g（x）∈[2-3a，2-

5a

2

]，
若2-3a＞

2

3

或2-

5a

2

＜0，即0＜a＜

4

9

或a＞

4

5

，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解，故③錯；
故存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則

2-3a≤ 2 3 2- 5a 2 ≥0

解得

4

9

≤a≤

4

5

．
故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的值域和單調(diào)性及運用，考查存在性命題成立的條件，轉(zhuǎn)化為最值之間的關(guān)系，屬于易錯題和中檔題．