Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別是A'B'和AB的中點，求異面直線A'F與CE所成角的大小 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（法一）如圖建立空間直角坐標系，把要求的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，用坐標運算求解；（法二）：連接EB，可證A'FBE是平行四邊形，可得異面直線A'F與CE所成的角就是CE與EB所成的角，在Rt△CEB中，可得，由反正切可得所求的角．
解答：解：（法一）如圖建立空間直角坐標系．   …（2分）

由題意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F(xiàn)（2，1，0）．
∴．…（6分）
設(shè)直線A′F與CE所成角為θ，
則．  …（10分）
∴，
即異面直線A'F與CE所成角的大小為．          …（12分）
（法二）：連接EB，…（2分）

∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四邊形，則A'F∥EB，
∴異面直線A'F與CE所成的角就是CE與EB所成的角．     …（6分）
由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．
在Rt△CEB中，，
則，…（10分）
∴．
∴異面直線A'F與CE所成角的大小為．         …（12分）
點評：本題考查異面直線所成的角，涉及反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．