Question

11．已知ABC中，A（-2，0）、B（0，-2），第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x²-1上移動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)T滿足：$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），則動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

Answer 1

分析 設(shè)T（x，y），用x，y表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線y=3x²-1上即可．

解答 解：設(shè)C（x₀，y₀），則$\overrightarrow{OA}$=（-2，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，-2），$\overrightarrow{OC}$=（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]=（$\frac{2λ-2}{3}$，0）+（0，$\frac{2λ-2}{3}$）+（$\frac{1+2λ}{3}{x}_{0}$，$\frac{1+2λ}{3}{y}_{0}$）=（$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$），
設(shè)T（x，y），則x=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，y=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$．
∴x₀=$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$，y₀=$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$，
∵C（x₀，y₀）在曲線y=3x²-1上移動(dòng)，
∴動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1，
故答案為：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解，屬于中檔題．