Question

10．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的交點(diǎn)在x軸上的射影恰為該橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)漸近線y=$\frac{a}$x與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）兩點(diǎn)，由題意求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入漸近線方程，求得$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，根據(jù)雙曲線的離心率公式率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），
設(shè)漸近線y=$\frac{a}$x與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）兩點(diǎn)，
則x₁=1，解得：y₁=$\frac{3}{2}$，則A（1，$\frac{3}{2}$），
代入漸近線方程整理得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率公式及漸近線方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．