Question

平面上有n(n≥2)條拋物線,其中每兩條都相交于兩點,并且每三條都不相交于同一點,試求這n條拋物線把平面分成多少個部分?

Answer 1

解:當n=2時,兩條相交拋物線把平面分成5部分,記f(2)=5=2²+1;?

當n=3時,f(3)=10=3²+1;?

當n=4時,f(4)=17=4²+1;?

當n=5時,f(5)=26=5²+1;?

歸納猜想:f(n)=n²+1(n≥2).

設(shè)n條拋物線將平面分成f(n)個部分;有(n+1)條拋物線時,由于第n+1條拋物線與前n條拋物線共有2n個交點,這2n個交點將第n+1條拋物線共分成2n+1段,而每一段都把原來所在的部分分成了兩部分,從而增加了2n+1個部分,?

∴f(n+1)=f(n)+2n+1(n≥2).?

∴f(3)=f(2)+5,?

f(4)=f(3)+7,?

f(5)=f(4)+9,?

……?

f(n)=f(n-1)+2n-1.?

∴f(n)=5+(5+7+9+…+2n-1)=n²+1.?

故滿足題意的n條拋物線將平面分成n²+1個部分.