已知三點A（2，1），B（1，-2），C（
3
5
，-
1
5
），動點P（a，b）滿足0≤
OP
•
OA
≤2，且0≤
OP
•
OB
≤2，則動點P到點C的距離小于
1
4
的概率為（　　）
A、1-
5π
64
B、
5π
64
C、1-
π
16
D、
π
16
考點：幾何概型
專題：概率與統(tǒng)計
分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式將不等式進行化簡，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．
解答： 解：∵A（2，1），B（1，-2），C（
3
5
，-
1
5
），∴
OP
•
OA
=2a+b，且
OP
•
OB
=a-2b，
∵0≤
OP
•
OA
≤2，且0≤
OP
•
OB
≤2，∴0≤2a+b≤2且0≤a-2b≤2，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵點P到點C的距離小于
1
4
，
∴|CP|＜
1
4
，則對應(yīng)的部分為陰影部分，
由
a-2b=0 
2a+b=2
解得
a=
4
5
b=
2
5
，
即E（
4
5
，
2
5
），|OE|=
(
4
5
)2+(
2
5
)2
=
20
25
=
4
5
，
∴正方形OEFG的面積為
4
5
×
4
5
=
4
5
，
則陰影部分的面積為π×(
1
4
)2=
π
16
，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為
π
16
4
5
=
5π
64
，
故選：B．
點評：本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，利用數(shù)量積將不等式進行轉(zhuǎn)化，求出相應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“cosα=
3
5
”是“cos2α=-
7
25
”的
 
．（填‘充分而不必要條件’，‘必要而不充分條件’，‘充要條件’‘既不充分也不必要條’）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=sin(πx+
2π
3
)+cos(πx+
π
6
)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�
A、[-
2
3
，
1
3
]
B、[
5
6
，
11
6
]
C、[
1
3
，
4
3
]
D、[-
1
6
，
5
6
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
2
3
D、
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1C1的中點，則異面直線DE與B1C所成角的大小為（　　）
A、15°B、30°
C、45°D、60°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的方程為（x-1）2+y2=1，P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上一點，過P作圓的兩條切線，切點為A、B，求
PA
•
PB
的范圍為（　　）
A、[0，
56
9
]
B、[2
2
-3，+∞]
C、[2
2
-3，
56
9
]
D、[
3
2
，
56
9
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出下列命題：
①若l⊥α，m∥α，則l⊥m；            
②若m∥l，m?α，則l∥α；
③若α⊥β，m?α，l?β，則m⊥l；    
④若m⊥l，m⊥α，l⊥β，則α⊥β；
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，a∈R．若復(fù)數(shù)
a+2i
a-2i
為實數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
4
B、1
C、0
D、2±2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x
+alnx．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+ax-lnx，a∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底），是否存在常數(shù)t，使h（x）≥t恒成立，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案