Question

在平面直角坐標系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），滿足向量

A1An+1

與向量

BnCn

共線，且點B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率為6的同一條直線上．
（1）試用a₁，b₁與n來表示a_n；
（2）設a₁=a，b₁=-a，且12＜a≤15，求數{a_n}中的最小值的項．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：綜合題,等差數列與等比數列,平面向量及應用

分析：（1）由點B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，得

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即bn+1-bn=6，由此可求得b_n，由向量

A1An+1

與向量

BnCn

共線，得a_n+1-a_n=b_n，利用累加法可表示a_n；
（2）代入a₁=a，b₁=-a，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a．根據二次函數的性質及對稱軸范圍可求得結果；

解答： 解：（1）∵點B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，
∴

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即bn+1-bn=6，
于是數列{b_n}是等差數列，故b_n=b₁+6（n-1）．
∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，又

AnAn+1

與

BnCn

共線，
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，即a_n+1-a_n=b_n，
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2），
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）．
（2）把a₁=a，b₁=-a代入上式，
得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a．
∵12＜a≤15，∴

7

2

＜

9+a

6

≤4，
∴當n=4時，a_n取最小值，最小值為a₄=18-2a．

點評：本題考查平面向量共線的條件、向量的數量積運算、等差數列的通項公式等知識，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．