Question

如圖，已知二面角α—AB—β的大小為120º，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．

（1）求異面直線AB與CD所成角的大��；

（2）求點P到直線AB的距離．

 

Answer 1

【答案】

(1) 90º (2)

【解析】

試題分析：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．

∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=D．

∴AB⊥平面PCD．

∴AB⊥CD，即異面直線AB與CD所成角的大小為90º．       ……6分

（2）設(shè)平面ACD與直線AB交于點E，連結(jié)CE，DE，PE

由（1）可知，AB⊥平面PCD．

∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．

∴∠CED為二面角α—AB—β的平面角，……8分

從而∠CED=120º．

∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．

∴∠CPD=60º．又PC=2，PD=3．

∴由余弦定理，得CD²=4+9-12cos60º=7，從而CD=．……10分

∵PE為四邊形PCED的外接圓直徑．

∴由正弦定理，得PE==．   ……12分

考點：異面直線所成的角和點到面的距離

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)異面直線所成的角的平移法來得到，以及根據(jù)二面角來得到點到面的距離，結(jié)合正弦定理求解，屬于基礎(chǔ)題。