Question

定義在R上奇函數(shù)，f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+1）=f（3-x），若f（1）=-2，則2012f（2012）-2013f（2013）=

1. A.
   -4026
2. B.
   4026
3. C.
   -4024
4. D.
   4024

Answer 1

A
分析：由條件f（x+1）=f（3-x），可得f（x）=f（4-x），f（-x）=f（4+x）．再由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x）．綜合可得-f（x）=f（x+4），可得f（x）=f（x+8），故函數(shù)f（x）的周期為8．利用周期性求得f（2012）和f（2013）的值，即可求得2012f（2012）-2013f（2013）的值．
解答：由于函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+1）=f（3-x），∴f（x）=f（4-x），∴f（-x）=f（4+x）．
再由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（x+4），∴f（x）=f（x+8），
故函數(shù)f（x）的周期為8．
∴f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=f（4-4）=f（0）=0，
f（2013）=f（251×8+5）=f（5）=f（4-5）=f（-1）=-f（10=2，
2012f（2012）-2013f（2013）=0-2013×2=-4026，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．