Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點A為左頂點，點B為上頂點，直線AB的斜率為

3

2

，又直線y=k（x-1）經(jīng)過橢圓C的一個焦點且與其相交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將|MN|表示為k的函數(shù)；
（Ⅲ）線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P，又點Q（1，0），求證：

|PQ|

|MN|

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由直線AB的斜率為

3

2

得到

b

a

=

3

2

，求直線經(jīng)過的定點得橢圓焦點，結(jié)合a²=b²+c²求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由弦長公式得到|MN|關(guān)于k的函數(shù)；
（Ⅲ）求出線段MN的垂直平分線方程，取y=0求得P點坐標(biāo)，則|PQ|可求，直接作比得到

|PQ|

|MN|

為定值．

解答： （Ⅰ）解：如圖，

∵直線AB的斜率為

3

2

，
∴

b

a

=

3

2

，
又直線y=k（x-1）經(jīng)過橢圓C的一個焦點，
∴交點F（1，0）．
則

c=1 b a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2

=

12(1+k2)

3+4k2

．
（Ⅲ）證明：線段MN的中點的橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，縱坐標(biāo)為k•(

4k2

3+4k2

-1)=

-3k

3+4k2

．
∴線段MN的垂直平分線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
取y=0，得x=

k2

3+4k2

，
∴P（

k2

3+4k2

，0），
則|PQ|=1-

k2

3+4k2

=

3(1+k2)

3+4k2

．
則

|PQ|

|MN|

=

3(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=

1

4

為定值．

點評：本題主要考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，考查了弦長公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了學(xué)生的運算能力，屬難題．