Question

（2013•遼寧）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．圓C₁，直線C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-

π

4

）=2

2

．
（Ⅰ）求C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P為C₁的圓心，Q為C₁與C₂交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程為

x=t3+a y= b 2 t3+1

（t∈R為參數(shù)），求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）先將圓C₁，直線C₂化成直角坐標(biāo)方程，再聯(lián)立方程組解出它們交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，最后化成極坐標(biāo)即可；
（II）由（I）得，P與Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，2），（1，3），從而直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0，由參數(shù)方程可得y=

b

2

x-

ab

2

+1，從而構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值．

解答：解：（I）圓C₁，直線C₂的直角坐標(biāo)方程分別為 x²+（y-2）²=4，x+y-4=0，
解

x2+(y-2)2=4 x+y-4=0

得

x=0 y=4

或

x=2 y=2

，
∴C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4，

π

2

）．（2

2

，

π

4

）．
（II）由（I）得，P與Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，2），（1，3），
故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0，
由參數(shù)方程可得y=

b

2

x-

ab

2

+1，
∴

b 2 =1 - ab 2 +1=2

，
解得a=-1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．