Question

如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明A，P，O，M四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明四點(diǎn)共圓，可根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理：四邊形對(duì)角互補(bǔ)，而由AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，易得∠APO=90°，故解答這題的關(guān)鍵是證明，∠AMO=90°，根據(jù)垂徑定理不難得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能說明∠OPM=∠OAM即可得到結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）連接OP，OM．
因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP．
因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形M的對(duì)角互補(bǔ)，
所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM+∠APM=90°．
又∵A，P，O，M四點(diǎn)共圓
∴∠OPM=∠OAM
所以∠OAM+∠APM=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題是考查同學(xué)們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個(gè)定理證明一個(gè)問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內(nèi)容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及其證明；3．圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定；