Question

20．設(shè)拋物線y²=4x有內(nèi)接三角形OAB，其垂心（三條邊上的高所在直線的交點）恰為拋物線的焦點，求這個三角形的周長．

Answer 1

分析 由拋物線的對稱性知A、B關(guān)于x軸對稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于-1即可求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得三角形周長．

解答 解：如圖，

解：由拋物線的對稱性知，A、B關(guān)于x軸對稱．
設(shè)直線AB的方程是x=m，則A（m，-2$\sqrt{m}$）、B（m，2$\sqrt{m}$），
∵△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點F（1，0 ），
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴$\frac{-2\sqrt{m}}{m-1}•\frac{2\sqrt{m}}{m}=-1$，解得m=5，
∴直線AB的方程是x=5，則A（5，-2$\sqrt{5}$），B（5，$2\sqrt{5}$），
則|OA|=|OB|=$\sqrt{{5}^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}=3\sqrt{5}$，|AB|=4$\sqrt{5}$．
∴三角形的周長為$10\sqrt{5}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．