Question

某工廠有一個(gè)容量為300噸的水塔，每天從早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時(shí)間t（小時(shí)，且規(guī)定早上6時(shí)t=0）的函數(shù)關(guān)系為W=100

3

t

．水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高一級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時(shí)打開進(jìn)水管，問進(jìn)水量選擇為第幾級(jí)時(shí)，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會(huì)使水溢出？

Answer 1

分析：解決本題的關(guān)鍵是水塔中的水不空又不會(huì)使水溢出，其存水量的平衡與進(jìn)水量、選擇的進(jìn)水級(jí)別與進(jìn)水時(shí)間相關(guān)，而出水量有生活用水與工業(yè)用水兩部分構(gòu)成，故水塔中水的存量是一個(gè)關(guān)于進(jìn)水級(jí)別與用水時(shí)間的函數(shù)．因此設(shè)進(jìn)水量選第x級(jí)，t小時(shí)后水塔中水的剩余量為：y=100+10xt-10t-100

3	t

，且0≤t≤16．解0＜y≤300，當(dāng)t＞0時(shí)，由左邊得x＞1+10（

1

3 t2

-

1

t

）．再令m=

1

3 t

，以m為單位得到函數(shù)y=1+10m²-10m³，（m≥

3 4

4

），利用導(dǎo)數(shù)討論這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，得出x≥3，再由右邊得x≤

20

t

+

10

3 t2

+1，類似于前面的討論得出x≤3，從而最終得出x=3．

解答：解：設(shè)進(jìn)水量選第x級(jí)，則t小時(shí)后水塔中水的剩余量為：
y=100+10xt-10t-100

3	t

，且0≤t≤16．
根據(jù)題意0＜y≤300，∴0＜100+10xt-10t-100

3	t

≤300．
當(dāng)t=0時(shí)，結(jié)論成立．
當(dāng)t＞0時(shí)，由左邊得x＞1+10（

1

3 t2

-

1

t

）
令m=

1

3 t

，由0＜t≤16，m≥

3 4

4

，
記f（t）=1+10（

1

3 t2

-

1

t

）=1+10m²-10m³，（m≥

3 4

4

），
則f′（t）=20m-30 m ²=0得m=0或m=

2

3

．
∵當(dāng)

3 4

4

≤m＜

2

3

時(shí)，f′（t）＞0；當(dāng)m＞

2

3

時(shí)，f′（t）＜0，
∴所以m=

2

3

時(shí)（此時(shí)t=

27

8

），f（t）最大值=1+10（

2

3

）²-10（

2

3

）³=

67

27

≈2.48．
當(dāng)t=

27

8

時(shí)，1+10（

1

3 t2

-

1

t

）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．
由右邊得x≤

20

t

+

10

3 t2

+1，
當(dāng)t=16時(shí)，

20

t

+

10

3 t2

+1取最小值

20

16

+

10

3 162

+1=

9

4

+

5 3 2

4

∈（3，4）．
即x≤3．
綜合上述，進(jìn)水量應(yīng)選為第3級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用為例，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，屬于難題．著重考查數(shù)學(xué)建模的基本思想，怎么樣把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)求這個(gè)問題的解．在解題過程中運(yùn)用了化二元為一元，化為基本初等函數(shù)的數(shù)學(xué)思想．