Question

6．曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線y=x+1的最短距離是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出和y=x+1平行的直線和y=lnx相切，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)與y=x+1平行的直線與y=lnx相切，
則切線斜率k=1，
∵y=lnx，∴${y}^{'}=\frac{1}{x}$，
由${y}^{'}=\frac{1}{x}=1$，得x=1．
當(dāng)x=1時(shí)，y=ln1=0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，0），
則點(diǎn)（1，0）到直線的距離就是線y=lnx上的點(diǎn)到直線y=x+1的最短距離，
∴點(diǎn)（1，0）到直線的距離為：d=$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線l：y=x+1的距離的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用平移切線法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．