Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，a＞0且a≠1
（1）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）討論f（x） 的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）換元法：令t=log_ax，則x=a^t，代入函數(shù)式可得解析式，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷；
（2）分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可作出判斷；

解答：解：（1）令t=log_ax，則x=a^t，
則f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
所以f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
函數(shù)定義域?yàn)镽，且f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，a^-x遞減，-a^-x遞增，a^x遞增，所以a^x-a^-x遞增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^-x遞增，-a^-x遞減，且a^x遞減，所以a^x-a^-x遞減，
又

a

a2-1

＜0，故此時(shí)f（x）遞增；
綜上，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）在R上遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬中檔題．