(2008•寶山區(qū)一模)函數(shù)是這樣定義的:對于任意整數(shù)m,當(dāng)實數(shù)x滿足不等式|x-m|<
1
2
時,有f(x)=m.
(1)求函數(shù)的定義域D,并畫出它在x∈D∩[0,4]上的圖象;
(2)若數(shù)列an=2+10•(
2
5
)n
,記Sn=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an),求Sn;
(3)若等比數(shù)列{bn}的首項是b1=1,公比為q(q>0),又f(b1)+f(b2)+f(b3)=4,求公比q的取值范圍.
分析:(1)利用絕對值不等式的解法,解|x-m|<
1
2
可得定義域,并畫出圖象.
(2)分別求出f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),考查數(shù)列{f(an} 的性質(zhì),再求和.
(3)由f(b1)+f(b2)+f(b3)=4得f(q)+f(q2)=3,對q分類討論,確定q的值.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域是D={x||x-m|<
1
2
}={x|m-
1
2
<x<m+
1
2
,m∈Z}
圖象如圖所示,
(2)由于an=2+10•(
2
5
)n
,所以f(an)=
6   n=1
4   n=2
3   n=3
2    n≥4
,
因此,Sn=
6  n=1
10    n=2
2n+7    n≥3
;
(3)由f(b1)+f(b2)+f(b3)=4得f(q)+f(q2)=3,
當(dāng)0<q≤1時,則q2≤q≤1,所以f(q2)≤f(q)≤f(1)=1,
則f(q)+f(q2)≤2<3,不合題意;
當(dāng)q>1時,則q2>q>1,所以f(q2)>f(q)>f(1)=1
只可能是
f(q)=1
f(q2)=2
,即
1
2
<q<
3
2
3
2
q2
5
2
,解之得
6
2
<q<
3
2
點評:本題考查閱讀理解、計算、分類討論思想和能力.正確理解新定義,將問題轉(zhuǎn)化成已有的知識,用已有的方法解決時此類問題共同的策略.
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lim
n→∞
Sn
=
3
3
3
3

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10000
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x-2
3
=
y+3
4
x-2
3
=
y+3
4

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