Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P-QBM的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出；

解答： 解：（1）∵PA=PD，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB
又AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，
∴BC⊥平面PQB，
又PM=3MC，
∴V_P-QBM=V_M-PQB=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•

3

4

•2=

3

4

點評：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了平面與平面垂直的判定、平面與平面垂直的性質(zhì)和體積公式等知識，屬于中檔題．