Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，2]

．

Answer 1

分析：首先由函數(shù)單調(diào)性定義，判斷f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上單調(diào)遞增；然后把a(bǔ)分成a≤2與a＞2兩種情況分別進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x|x-a|=

x(x-a) ， x≥a x(a-x) ， x＜a

，對(duì)于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
故函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)．
（1）當(dāng)a≤2時(shí)，
若x∈[2，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，其對(duì)稱軸為x=

a

2

，此時(shí)

a

2

＜2，所以，f（x）在[2，+∞）上是遞增的．
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，
①若x∈[a，+∞），則f（x）=x（x-a）=x²-ax，由于其對(duì)稱軸為x=

a

2

，所以f（x）在[a，+∞）上是遞增的；
②若x∈[2，a），則f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其對(duì)稱軸為x=

a

2

，所以f（x）在[

a

2

，a）上是遞減的，
因此f（x）在[2，a）上必有遞減區(qū)間，故不滿足條件．
綜合（1）、（2）可知a≤2，
故答案為 （-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，同時(shí)考查了分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．