Question

某人花費(fèi)200萬(wàn)元購(gòu)買了一輛大客車，用于長(zhǎng)途客運(yùn)，預(yù)計(jì)這輛車每年收入約100萬(wàn)元，車運(yùn)營(yíng)的花費(fèi)P（萬(wàn)元）與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x（x∈N^*）的關(guān)系為p=8x（1+x）．
（1）寫出這輛車運(yùn)營(yíng)的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）這輛車運(yùn)營(yíng)多少年，可使年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)w最大？最大為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意可得：這輛車x年總收入為100x萬(wàn)元，總支出為200+8x（1+x）（萬(wàn)元）．用總收入減去總支出即可得到總利潤(rùn)；
（2）年平均利潤(rùn)為w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）依題意，這輛車x年總收入為100x萬(wàn)元，
總支出為200+8x（1+x）（萬(wàn)元）．
∴y=100x-[200+8x（1+x）]=-8x²+92x-200=4（-2x²+23x-50）．
（2）年平均利潤(rùn)為w=

y

x

=

4(-2x2+23x-50)

x

=4[23-2(x+

25

x

)]．
又x∈N^*，∴x+

25

x

≥2 

x• 25 x

=10，
當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)w≤4×（23-20）=12．
∴這輛車運(yùn)營(yíng)5年，可使年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)w最大為12萬(wàn)元．
答：（1）這輛車運(yùn)營(yíng)的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式是y=-8x²+92x-200．；
（2）這輛車運(yùn)營(yíng)5年，可使年平均運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)w最大，最大為12萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“總利潤(rùn)=總收入-總支出”的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．