已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且對任意的正整數(shù)n都有Sn=
an+n2
2

(1)求a1,a2及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:b1=1,當(dāng)n≥2時,bn=an2(
1
a12
+
1
a22
+…+
1
an-12
)
,證明:當(dāng)n≥2時,
bn+1
(n+1)2
-
bn
n2
=
1
n2
;
(3)在(2)的條件下,試比較(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
與4的大小關(guān)系.
分析:(1)利用an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)利用(1)得出當(dāng)n≥2時,
bn+1
(n+1)2
,
bn
n2
的表達(dá)式,相減即可得出;
(3)當(dāng)n≥2時,
bn+1
(n+1)2
=
1+bn
n2
,可得
1+bn
bn+1
=
n2
(n+1)2
.利用(2)及“累乘求積”、“放縮法”、“裂項(xiàng)求和”即可得出.
解答:解:(1)∵S1=
a1+1
2
,∴a1=1,)
又由S2=
a2+22
2
,∴a2=2,
又當(dāng)n≥2時,Sn=
an+n2
2
,Sn-1=
an-1+(n-1)2
2
,
兩式相減得an=
an-an-1+2n-1
2

∴an+an-1=2n-1(n≥2)
又an+1+an=2n+1(n≥1),兩式相減得an+1-an-1=2(n≥2)
即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為2等差數(shù)列;
偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2,公差為2等差數(shù)列.
∴a2n-1=2n-1,a2n=2n
∴an=n.
(2)當(dāng)n≥2時,
bn
n2
=
1
12
+
1
22
+…+
1
(n-1)2

bn+1
(n+1)2
=
1
12
+
1
22
+…+
1
n2

由②-①得
bn+1
(n+1)2
-
bn
n2
=
1
n2

(3)當(dāng)n=1時,1+
1
b1
=1+1=2<4
,當(dāng)n=2時,b2=a22
1
1
=4

(1+
1
b
1
)(1+
1
b2
)=2×
5
4
=
5
2
<4

當(dāng)n≥2時,
bn+1
(n+1)2
=
1+bn
n2
,∴
1+bn
bn+1
=
n2
(n+1)2

當(dāng)n≥3時,(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
=
1+b1
b1
1+b2
b2
•…•
1+bn
bn

=2•
1
b2
1+b2
b3
•…•
1+bn-1
bn
1+bn
bn+1
bn+1

=
1
4
×
22
32
×
32
42
×…×
n2
(n+1)2
×bn+1

=2•
bn+1
(n+1)2

=2•
(n+1)2
(n+1)2
•(
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
)
≤2(
1
1
+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)n
)
=4-
2
n
<4
點(diǎn)評:熟練掌握利用an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求an、變形利用“累乘求積”、“放縮法”、“裂項(xiàng)求和”等方法是解題的關(guān)鍵.
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