Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有Sn=

an+n2

2

．
（1）求a₁，a₂及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=an2(

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an-12

)，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的條件下，試比較(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)與4的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用（1）得出當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)2

，

bn

n2

的表達(dá)式，相減即可得出；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)2

=

1+bn

n2

，可得

1+bn

bn+1

=

n2

(n+1)2

．利用（2）及“累乘求積”、“放縮法”、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答：解：（1）∵S1=

a1+1

2

，∴a₁=1，）
又由S2=

a2+22

2

，∴a₂=2，
又當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

an+n2

2

，Sn-1=

an-1+(n-1)2

2

，
兩式相減得an=

an-an-1+2n-1

2

∴a_n+a_n-1=2n-1（n≥2）
又a_n+1+a_n=2n+1（n≥1），兩式相減得a_n+1-a_n-1=2（n≥2）
即數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為2等差數(shù)列；
偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為2等差數(shù)列．
∴a_2n-1=2n-1，a_2n=2n
∴a_n=n．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

①

bn+1

(n+1)2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

②
由②-①得

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

b1

=1+1=2＜4，當(dāng)n=2時(shí)，b2=a22•

1

1

=4
∴(1+

1

b

1)(1+

1

b2

)=2×

5

4

=

5

2

＜4
當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

(n+1)2

=

1+bn

n2

，∴

1+bn

bn+1

=

n2

(n+1)2

當(dāng)n≥3時(shí)，(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)=

1+b1

b1

•

1+b2

b2

•…•

1+bn

bn

=2•

1

b2

•

1+b2

b3

•…•

1+bn-1

bn

•

1+bn

bn+1

•bn+1
=2×

1

4

×

22

32

×

32

42

×…×

n2

(n+1)2

×bn+1
=2•

bn+1

(n+1)2

=2•

(n+1)2

(n+1)2

•(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤2(

1

1

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

)=4-

2

n

＜4．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a_n、變形利用“累乘求積”、“放縮法”、“裂項(xiàng)求和”等方法是解題的關(guān)鍵．