Question

13．在極坐標(biāo)系中，點A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），直線l平行于直線AB，且將封閉曲線C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）所圍成的面積平分，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，求曲線C及直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M為曲線C上的動點，求|MA|²+|MB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）即ρ²=2ρ（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．點A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得直角坐標(biāo)，可得k_AB．根據(jù)直線l平行于直線AB，將封閉曲線C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）所圍成的面積平分，可得直線l的斜率k_l=k_AB，經(jīng)過圓心C．可得直線l的參數(shù)方程．．
（II）設(shè)M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，利用兩點之間的距離公式可得|MA|²+|MB|²=4-2$sin（θ+\frac{π}{6}）$及其范圍．

解答 解：（I）曲線C：ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）（ρ≥0）即ρ²=2ρ（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=x+$\sqrt{3}$y．
配方為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
點A（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）、B（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），分別化為直角坐標(biāo)：A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B$（0，\sqrt{3}）$，k_AB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}{\frac{3}{2}-0}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵直線l平行于直線AB，將封閉曲線C所圍成的面積平分，
∴直線的斜率k_l=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，經(jīng)過圓心C$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）設(shè)M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，則|MA|²+|MB|²=（cosθ-1）²+sin²θ+$（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}$+$（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$
=4-$\sqrt{3}$sinθ-cosθ
=4-2$sin（θ+\frac{π}{6}）$∈[2，6]．

點評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的性質(zhì)、平行線的斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．