已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)t的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件得e=
c
a
=
2
2
，b=
2
1+1
=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1.
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出t的最大整數(shù)值．
解答： 解：（Ⅰ）由題知e=
c
a
=
2
2
，
∴e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
．即a2=2b2．
又∴b=
2
1+1
=1，
∴a2=2，b2=1．
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1.
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，
k2＜
1
2
.x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
…（8分）
∵
OA
+
OB
=t
OP
，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)
．
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，
∴16k2=t2（1+2k2）…（12分）
t2=
16k2
1+2k2
=
16
1
k2
+2
＜
16
2+2
=4，則-2＜t＜2，
∴t的最大整數(shù)值為1．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查整數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法：
（1）命題“?x∈R，使得2x＞3”的否定是“?x∈R，使得2x≤3”
（2）命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f′（x0）=0”的否命題是真命題
（3）f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，x＞0時(shí)的解析式是f（x）=2x，則x＜0的解析式為f（x）=-2-x
其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，而π是無(wú)理數(shù)，所以π是無(wú)限小數(shù)．屬于哪種推理（　　）
A、合情推理B、演繹推理
C、類比推理D、歸納推理

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中，以為π最小正周期的偶函數(shù)，且在（0，
π
2
）內(nèi)遞增的是（　　）
A、y=sin|x|
B、y=|sinx|
C、y=|cosx|
D、y=cos|x|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=
2n+1an
an+2n
（n∈N+）
（1）證明：數(shù)列{
2n
an
}是等差數(shù)列；           
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（3）設(shè)bn=（2n-1）（n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0．求：
cos2x-sin2x
(1-cos2x)(1-tan2x)
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），且離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上下兩頂點(diǎn)分別為A，B，直線y=kx+2交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線PB與直線y=
1
2
交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：A，M，Q三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的焦點(diǎn)F（
3
，0），雙曲線C上一點(diǎn)P到F的最短距離為
3
-
2
．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M（0，1），設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)：設(shè)λ=
MP
•
MQ
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

根據(jù)如圖所示的程序框圖，變量a每次賦值后的結(jié)果依次記作：a1、a2、a3…an…．如a1=1，a2=3…．
（Ⅰ）寫a3、a4、a5；
（Ⅱ）猜想出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）寫出運(yùn)行該程序結(jié)束輸出的a值．（寫出過(guò)程）

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同步練習(xí)冊(cè)答案