已知函數(shù)f（x）=lg（x+
ax
-2），其中a是大于0的常數(shù)．
（1）當(dāng)a∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．
分析：（1）對g（x）=x+
a
x
-2，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解；
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，只要求出f（x）的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的最值；
解答：解：（1）設(shè)g（x）=x+
a
x
-2，當(dāng)a∈（1，4），x∈[2，+∞）時
則g′（x）=1-
a
x2
=
x2-a
x2
＞0恒成立，
∴g（x）=x+
a
x
-2在[2，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）=lg（x+
a
x
-2）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=lg（x+
a
x
-2）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=lg
a
2
   …6分
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+
a
x
-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立…8分
∴a＞3x-x2，而h（x）=3x-x2=-（x-
3
2
）2+
9
4
在x∈[2，+∞）上是減函數(shù) …10分
∴h（x）max=h（2）=2，
∴a＞2；
點評：此題主要考查函數(shù)的恒成立問題，利用了常數(shù)分離法，這也是高考常用的方法，本題是一道中檔題；
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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