Question

7．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，有一小球A從F₁處以速度v開(kāi)始沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓壁反射（無(wú)論經(jīng)過(guò)幾次反射速度大小始終保持不變，小球半徑忽略不計(jì)），若小球第一次回到F₁時(shí)，它所用的最長(zhǎng)時(shí)間是最短時(shí)間的5倍，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得4a=10（a-c），由此即可求得橢圓的離心率．

解答 解：假設(shè)長(zhǎng)軸在x軸，短軸在y軸，以下分為三種情況：
（1）球從F₁沿x軸向左直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，碰到左頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到F₁路程是2（a-c）；
（2 ）球從F₁沿x軸向右直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，碰到右頂點(diǎn)必然原路反彈，這時(shí)第一次回到F₁路程是2（a+c）；
（3）球從F₁沿x軸斜向上（或向下）運(yùn)動(dòng)，碰到橢圓上的點(diǎn)A，反彈后經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₂，再?gòu)椀綑E圓上一點(diǎn)B，經(jīng)F₁反彈后經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁，此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程是4a．
綜上所述，從點(diǎn)F₁沿直線(xiàn)出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)F₁時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的最大路程是4a最小路程是2（a-c）．
∴由題意可得4a=10（a-c），即6a=10c，得$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$．
∴橢圓的離心率為$\frac{3}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，明確橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離最小的點(diǎn)是左頂點(diǎn)，距離最大的點(diǎn)是右頂點(diǎn)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．