Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若△F₁AB是頂角A為120°的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 5-2$\sqrt{3}$
• B． $5+2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，結(jié)合余弦定理建立方程關(guān)系，利用雙曲線的離心率的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題設(shè)及雙曲線定義知，|AF₁|-|AF₂|=2a=|BF₂|，|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a．在△F₁BF₂中，|F₁F₂|=2c，∠F₂BF₁=30°，
由余弦定理得，$4{c^2}=4{a^2}+16{a^2}-2×2a×4a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5-2\sqrt{3}}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的離心率的計算，根據(jù)條件結(jié)合雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．