Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）證明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）求棱AA₁與BC所成的角的大小；
（3）若點P為B₁C₁的中點，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為頂點在A₁底面ABC上的射影恰為點B，得到A₁B⊥AC，又AB⊥AC，利用線面垂直的判斷定理可得AC⊥面AB₁B，從而可證平面A₁AC⊥平面AB₁B．
（2）建立空間直角坐標系，求出 ，，利用向量的數(shù)量積公式求出棱AA₁與BC所成的角的大��；
（3）求出平面PAB的法向量為 ，而平面ABA₁的法向量 =（1，0，0），利用向量的數(shù)量積公式求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
解答：證明：（1）∵A₁B⊥面ABC，∴A₁B⊥AC，------（1分）
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B
∴AC⊥面AB₁B，------（3分）
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；------（4分）
（2）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則C（2，0，0），B（02，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
所以 ，．
所以 ，
故AA₁與棱BC所成的角是 ．          …（8分）
（3）因為P為棱B₁C₁的中點，所以P的坐標為（1，3，2）．                     …（10分）
設(shè)平面PAB的法向量為 =（x，y，z），則
令z=1故                                …（12分）
而平面ABA₁的法向量 =（1，0，0），則 =
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是 ．               …（14分）
點評：本題以三棱柱為載體，考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量和點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．