Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左焦點為F，左右頂點分別為A，C，上頂點為B，過F，B，C作⊙P．
（1）當b=

3

時，求圓心P的坐標；
（2）是否存在實數b，使得直線AB與⊙P相切？若存在求b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用已知和橢圓的性質即可得出a，b，c．進而得到點B，C，F的坐標，設出圓的一般方程，利用待定系數法即可得出；
（2）假設存在實數b，使得直線AB與⊙P相切，運用圓的性質和圓的切線的性質，設圓心P（

a-c

2

，d），
運用垂直的條件和圓的半徑相等即可判斷．

解答： 解：（1）當b=

3

時，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∴a²=4，得a=2．∴c=

a2-b2

=

4-3

=1．
∴A（-2，0），B（0，

3

），C（2，0），F（-1，0），
設圓P的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

1-D+F=0 4+2D+F=0 3+ 3 E+F=0

，解得

D=-1 E=- 3 3 F=-2

．
∴圓P的方程為x²+y²-x-

3

3

y-2=0，即有圓心P（

1

2

，

3

6

）；
（2）假設存在實數b，使得直線AB與⊙P相切，則有B為切點，B（0，b），
則設圓心P（

a-c

2

，d），即有

AB

=（c，b），

PB

=（

c-a

2

，b-d），

PC

=（

a+c

2

，-d），
由

AB

•

PB

=0且|

PB

|=|

PC

|，
則c•

c-a

2

+b（b-d）=0且

( c-a 2 )2+(b-d)2

=

( a+c 2 )2+d2

即為c²+2b²=ac+2bd且ac+2bd=b²，即有c²+b²=0，不成立．
故不存在實數b，使得直線AB與⊙P相切．

點評：熟練掌握橢圓的性質、圓的切線性質及其一般方程、待定系數法是解題的關鍵．