Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，其前n項(xiàng)和為S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（1）求p值及a_n；
（2）在等比數(shù)列{b_n}中，b₃=a₁，b₄=a₂+4，若等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：數(shù)列{T_n+

1

6

}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程關(guān)系即可求p值及a_n；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義建立方程求出通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，其前n項(xiàng)和為S_n=pn²+2n，n∈N^*．
∴a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，
即a₁+a₂=4p+4，∴a₂=3p+2，
則a₂-a₁=2p=2，即p=1．
∴a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）在等比數(shù)列{b_n}中，b₃=a₁=3，b₄=a₂+4=9，
則公比q=

b4

b3

=

9

3

=3，
則b₃=b₁•3²=3，解得b₁=

1

3

，
∴T_n=

1 3 (1-3n)

1-3

=

1

6

(3n-1)，
即T_n+

1

6

=

1

6

•3n，
∴

Tn+ 1 6

Tn-1+ 1 6

=

1 6 •3n

1 6 •3n-1

=3為常數(shù)，
∴數(shù)列{T_n+

1

6

}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．