Question

已知a，b，x，y∈R，證明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述結(jié)論求（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

Answer 1

分析：把 b²x²+a²y²≥2abxy 的兩邊同時(shí)加上a²x²+b²y²，即可得到（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立．

解答：證明：∵b²x²+a²y²≥2abxy，
∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立．
由不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
知（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）≥(m×

1

m

+2n×

2

n

)2=25
當(dāng)且僅當(dāng)m²=n²時(shí)，等號(hào)成立，
即（m²+4n²）（

1

m2

+

4

n2

）的最小值為25．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用綜合法證明不等式，屬于中檔題．