Question

17．如圖，橢圓C：x²+3y²=3b²（b＞0）
（Ⅰ）若長軸長與短軸長的差為4$\sqrt{3}$-4，求橢圓方程
（Ⅱ）若b=1，A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出長軸長與短軸長，結(jié)合已知求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）分AB所在直線的斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時，直接求出面積；當(dāng)斜率不垂直時，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用配方法可求最值，從而可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由x²+3y²=3b² ，得$\frac{{x}^{2}}{3^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∴橢圓的長軸長為$2\sqrt{3}b$，短軸長為2b，
∴$2\sqrt{3}b-2b=4\sqrt{3}-4$，
則b=2，a=$4\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{48}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{3}=\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
由△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）=48-12m²＞0，
得-2＜m＜2．
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$（-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}=\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，①
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，②
結(jié)合①，②得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}$$（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}$+$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
故S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=2，即k=±1時上式取等號．
又$\frac{\sqrt{3}}{2}＞\frac{3}{4}$，故S_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．