Question

（2011•濟(jì)南二模）濟(jì)南市開展支教活動(dòng)，有五名教師被隨機(jī)的分到A、B、C三個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)，且每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)至少一名教師，
（1）求甲乙兩名教師同時(shí)分到一個(gè)中學(xué)的概率；
（2）求A中學(xué)分到兩名教師的概率；
（3）設(shè)隨機(jī)變量X為這五名教師分到A中學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，滿足條件的事件是甲乙兩位教師同時(shí)分到一個(gè)中學(xué)有C₃²A₃³+C₃¹A₃³種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)古典概型，基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

，滿足條件是事件是A中學(xué)分到兩名教師共有C₅²C₃²A₂²，得到結(jié)果．
（3）根據(jù)題意，得到變量的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出變量的概率，根據(jù)變量和概率的值寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)甲乙兩位教師同時(shí)分到一個(gè)中學(xué)為事件A，
基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
滿足條件的事件數(shù)C₃²A₃³+C₃¹A₃³=36
∴P（A）=

36

150

=

6

25

（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
基本事件總數(shù)

1

2

C

2 5

C

2 3

A

3 3

+

C

3 5

A

3 3

=150
滿足條件是事件是A中學(xué)分到兩名教師共有C₅²C₃²A₂²=60
∴根據(jù)古典概型概率公式知有P=

60

150

=

2

5

（3）由題知X取值1，2，3．
P（X=1）=

7

15

P（X=2）=

2

5

，
P（X=3）=

2

15

．
∴分布列為

X	1	2	3
P	7 15	2 5	2 15

∴期望值是EX=1×

7

15

+2×

2

5

+3×

2

15

=

5

3

點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．