Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-，S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式；并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

解：（1）S₁=a₁=-，∵S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+=a₂-2=S₂-a₁-2，∴=-2，∴S₂=-．
同理可求得 S₃=-，S₄=-．
（2）猜想S_n =-，n∈N₊，下邊用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=-，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即S_K=-．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，∵S_n+=a_n-2，∴，
∴，∴=-2=，
∴S_K+1=-，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想仍然成立．
綜合①②可得，猜想對(duì)任意正整數(shù)都成立，即 S_n =-，n∈N₊成立．
分析：（1）S₁=a₁，由S₂+=a₂-2=S₂-a₁ 求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）猜想S_n =-，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)S_K=-，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得，，解出 S_K+1=-，故n=k+1時(shí)，猜想仍然成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，S_n =-，n∈N₊，是解題的難點(diǎn)．