Question

在△ABC中，（1）若=a，=b，求證：S_△ABC=；
（2）若=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），求證：△ABC的面積S_△=|a₁b₂-a₂b₁|．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，再利用正余弦的平方關(guān)系及利用向量的數(shù)量積求向量夾角余弦求出三角形面積的另一形式．
（2）將（1）中的向量模及向量的數(shù)量積用坐標(biāo)公式表示即可．
解答：證明：（1）設(shè)a、b的夾角為θ，△ABC的面積S_△=||||sinθ=|a||b|sinθ．
∵sin²θ=1-cos²θ=1-（）²，
∴S_△²=（|a||b|）²sin²θ
=（|a||b|）²[1-（）²]
=[（|a||b|）²-（a•b）²]．
∴S_△=．
（2）記=a，=b，則a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．
∴|a|²=a₁²+a₂²，|b|²=b₁²+b₂²，
|a•b|²=（a₁b₁+a₂b₂）²．
由（1）可知S_△=
=
=，
∴S_△=|a₁b₂-a₂b₁|．
點(diǎn)評：（1）是用數(shù)量積給出的三角形的面積公式；（2）是用向量坐標(biāo)給出的三角形的面積公式．