Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．證明：n≥1時，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

Answer 1

證明：（1）當n=1時，

1

5

[3+2]-2a₀=1-2a₀，而a₁=3⁰-2a₀=1-2a₀．
∴當n=1時，通項公式正確．
（2）假設n=k（k∈N*）時正確，即a_k=

1

5

[3^k+（-1）^k-1•2^k]+（-1）^k•2^k•a₀，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-

2

5

×3^k+

2

5

（-1）^k•2^k+（-1）^k+1•2^k+1a₀
=

3

5

•3^k+

1

5

（-1）^k•2^k+1+（-1）^k+1•2^k+1•a₀
=

1

5

[3^k+1+（-1）^k•2^k+1]+（-1）^k+1•2^k+1•a₀．∴當n=k+1時，通項公式正確．
由（1）（2）可知，對n∈N*，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．